Alf Gerisch

Numerical Methods for the Simulation of Taxis-Diffusion-Reaction Systems

Dissertation zur Erlangung des akademischen Grades doctor rerum naturalium (Dr. rer. nat.) vorgelegt an der Mathematisch-Naturwissenschaftlich-Technischen Fakultät der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg
verteidigt am 23.08.2001

Abstract
Wir entwickeln und evaluieren eine Linienmethode (MOL) für die Simulation von Taxis-Diffusions-Reaktions (TDR)-Systemen. Diese zeitabhängigen PDE-Systeme treten bei der Modellierung der räumlich-zeitlichen Entwicklung von Populationen von Organismen auf, die sich in direkter Antwort auf z.B. Konzentrationsunterschiede in diffundierenden Chemikalien in ihrer Umgebung bewegen (Chemotaxis).Beispiele sind Musterbildungsvorgänge und verschiedene Prozesse in der Tumorentwicklung. Der Taxiseffekt wird durch einen nichtlinearen Advektionsterm im TDR-System modelliert (Taxisterm).
Die MOL-ODE erhalten wir durch Ersetzen der Ortsableitungen im TDR-System mit Finite-Volumen-Approximationen. Diese beachten die Massenerhaltungseigenschaft des TDR-Systems und sind so konstruiert, daß die MOL-ODE eine nichtnegative analytische Lösung besitzt (Positivität). Letztere Eigenschaft ist natürlich (da Dichten/Konzentrationen modelliert werden) und sehr wünschenswert (da negative Lösungswerte stabile Reaktionsterme in instabile verwandeln können). Diffusions- und Reaktionsterme können durch Standardapproximationen ersetzt werden, um die Positivität zu sichern. Wir verwenden Upwinding in Kombination mit Limiterfunktionen in der Diskretisierung des Taxisterms, um die Positivität der MOL-ODE zu erzielen. Die Diskretisierung in der Nähe des Randes des räumlichen Gebiets wird diskutiert. Die Angemessenheit der räumlichen Diskretisierung wird anhand eines einfachen Taxisproblems demonstriert (wir geben die exakte PDE-Lösung an).
Die MOL-ODE ist steif und hochdimensional. Wir entwickeln Integrationsverfahren, welche die Diskretisierung des Taxisterms und der Diffusions-/Reaktionsterme unterschiedlich behandeln (Splitting). Wir verwenden Operator- (Strang-) Splitting und/oder die Technik der approximierenden Matrixfaktorisierung. Die Splittingmethoden basieren auf expliziten Runge-Kutta (ERK) und linear-impliziten W-Methoden. Positivität und Stabilität der Integrationsverfahren werden untersucht. Wir identifizieren eine ERK-Methode mit vorteilhaften Positivitätseigenschaften. Eine zugehörige W-Methode wird konstruiert. Numerische Experimente mit einer Vielzahl von Splittingmethoden angewendet auf einige semidiskretisierte TDR-Systeme bestätigen die breite Anwendbarkeit der Splittingmethoden und führen zu einer Auswahl effizienter Methoden für die betrachtete Klasse von TDR-Systemen. Diese Methoden sind effizienter als (geeignete) Standard-ODE-Integratoren im unteren und mittleren Genauigkeitsbereich.
Insgesamt wurde eine geeignete und effiziente numerische Technik zur Simulation von TDR-Systemen entwickelt.

We describe and evaluate a method of lines (MOL) technique for the simulation of taxis-diffusion-reaction (TDR) systems. These time-dependent PDE systems arise when modelling the spatio-temporal evolution of a population of organisms which migrate in direct response to e.g. concentration differences of a diffusible chemical in their surrounding (chemotaxis). Examples include pattern formation and different processes in cancer development. The effect of taxis is modelled by a nonlinear advection term in the TDR system (the taxis term).
The MOL-ODE is obtained by replacing the spatial derivatives in the TDR system by finite volume approximations. These respect the conservation of mass property of the TDR system, and are constructed such that the MOL-ODE has a nonnegative analytic solution (positivity). The latter property is natural (because densities/concentrations are modelled) and highly desirable (because negative solution values might turn stable reaction terms into unstable ones). Diffusion and reaction terms can be replaced by standard approximations to ensure positivity, and we employ upwinding in combination with limiter functions in the discretization of the taxis term to ensure positivity of the MOL-ODE. The discretization near the boundary of the spatial domain is discussed. The appropriateness of the spatial discretization is demonstrated for a simple taxis problem (we provide the exact PDE solution).
The MOL-ODE is stiff and of large dimension. We develop integration schemes which treat the discretization of taxis and diffusion/reaction differently (splitting). We employ operator (Strang-)splitting and/or the approximate matrix factorization technique. The splitting schemes are based on explicit Runge-Kutta (ERK) and linearly-implicit W-methods. Positivity and stability of the integration schemes are investigated. We identify an ERK method with favourable positivity properties. A corresponding W-method is constructed. Numerical experiments with a variety of splitting schemes applied to some semi-discretized TDR systems confirm the broad applicability of the splitting schemes and lead to a selection of efficient methods for the class of TDR systems. These methods are more efficient than (suitable) standard ODE solvers in the lower and moderate accuracy range.
Altogether, the numerical technique developed is appropriate and efficient for the simulation of TDR systems.

Keywords:
Taxis-Diffusions-Reaktions-System, Mathematische Biologie, Partielle Differentialgleichung, Linienmethode, Finite Volumen Methode, Positivitšt, Operatorsplitting, Rosenbrock-Methode, Approximierende Matrix-Faktorisierung, Explizite Runge-Kutta-Methode

Taxis-Diffusion-Reaction System, Mathematical Biology, Partial Differential Equation, Method of Lines, Finite Volume Method, Positivity, Operator Splitting, Rosenbrock Method, Approximate Matrix Factorization, Explicit Runge-Kutta Method

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Inhaltsverzeichnis
Contents; Abbreviations, Symbols, and Notation (v-viii)
1 Introduction (1-4)
2 Taxis-Diffusion-Reaction Systems (5-16)
3 The Method of Lines and Space Discretization (17-34)
4 Time Stepping Methods (35-70)
5 Numerical Experiments and Discussion (71-83)
6 Conclusions (84-85)
Appendix (86-88)
Bibliography (89-92)