Abdelali Gabih

Portfolio optimization with bounded shortfall risks

Dissertation zur Erlangung des akademischen Grades doctor rerum naturalium (Dr. rer. nat.) vorgelegt an der Mathematisch-Naturwissenschaftlich-Technischen Fakultät der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg
verteidigt am 14.10.2005

Abstract
Die Arbeit untersucht Portfoliomanager, welche den Nutzen aus dem Vermögen des Portfolios am Ende eines Anlagezeitraumes maximieren. Sie müssen dabei zusätzlich gewisse Risikobeschränkungen einhalten, welche das Unterschreiten des Endvermögens unter vorgegebene Schranken verhindern sollen. Auf der Grundlage des Black-Scholes Modells eines vollständigen Finanzmarktes mit vollständiger Information und unter Benutzung von Martingal- und Dualitätsmethoden werden analytische Ausdrücke für das optimale Endvermögen und die optimalen Handelsstrategien angegeben. Im zweiten Teil der Arbeit wird ein Finanzmarktmodell mit einem zufälligen Driftparameter betrachtet, welcher als nicht beobachtbare zeitstetige Markovkette mit endlich vielen Zuständen modelliert wird. Für Anlageentscheidungen stehen allerdings nur die beobachtbaren Wertpapierpreise zur Verfügung. Die Arbeit zeigt, wie solche optimale Strategien gefunden werden können, die nur von den beobachtbaren Größen abhängen.
Kapitel 1 beschreibt Lösungsmöglichkeiten für die Maximierung des mittleren Nutzens, insbesondere mit Hilfe von Martingal- und Dualitätsmethoden in einem zeitstetigen und vollständigen Finanzmarkt. Außerdem wird in diesem Kapitel eine Übersicht über Risikomaße und deren Eigenschaften gegeben. Kapitel 2 verknüpft das Anliegen des Risikomanagements mit dem Ziel der Nutzenmaximierung. Hierzu wird ein dynamisches Portfoliooptimierungsproblem betrachtet wird, welches zusätzliche Risikonebenbedingungen enthält, die gewisse Verlustfunktionale durch eine vorgegeben Schranke begrenzen. Für den Fall einer deterministischen Ausfallschranke werden das optimale Endvermögen und die zugehörigen optimalen Handelsstrategien für die Risikomaße Value at Risk, Expected Shortfall und Expected Utility bestimmt. Numerische Beispiele illustrieren die analytischen Ergebnisse.
Kapitel 3 untersucht den Einfluss einer Beschränkung des Expected Utility Loss im Falle eines Portfoliomanagers, der den Return eines Aktienportfolios, welcher als stochastische Benchmark betrachtet wird, überbieten möchte. Es werden wiederum die Form des optimalen Endvermögens, die optimalen Handelsstrategien, deren Eigenschaften wie z.B. die Asymptotik am Ende des Anlagezeitraumes, sowie numerische Beispiele angegeben.
Kapitel 4 analysiert das Portfolioopimierungsproblem mit Risikobeschränkung in einem Finanzmarktmodell mit unvollständiger Information über den Driftparameter. Der Driftprozess wird dabei als eine homogene zeitstetige Markovkette modelliert. Die Kombination von Ergebnissen der Filtertheorie und des Malliavin-Kalküls erlaubt die Bestimmung von optimalen Anlagestrategien in Abhängigkeit vom unnormalisierte Filter und dessen Malliavin-Ableitung, welche linearen stochastischen Differentialgleichungen genügen.

In this thesis we focus on modeling portfolio managers as expected utility maximizers, who derive utility from the wealth at some horizon time and who must comply with different risk constraints, requiring that the terminal wealth at that horizon may decrease below a given floor. Using the Black-Scholes model of a complete financial market with full information and applying martingale duality methods, analytic expressions for the optimal terminal wealth and the optimal portfolio strategies are given. In a second part we consider a financial market model where the drift is modeled as an unobservable continuous-time, finite state Markov chain. For investment decisions only the prices are available. The optimal trading strategies can be expressed in terms of observable quantities.
In Chapter 1 we set up the background concerning the expected utility maximization problem with the martingale duality method used to solve it in the familiar continuous-time and complete setting. We give in this chapter a short review of risk measures and their properties.
In Chapter 2 we directly embed risk management objectives into utility maximization framework by formulating the dynamic optimization problem with additional risk constraints bounding di_erent forms of loss functionals. We use a deterministic shortfall level to derive the optimal terminal wealth and its associated strategies in case of bounded Value at Risk, Expected Loss and Expected Utility Loss. Numerical examples are presented to illustrate the analytic results.
Chapter 3 investigates the impact of adding a Utility Expected Loss constraint to the problem of portfolio manager who aims to beat the return of the stock market considered as a random benchmark. The optimal terminal wealth, the optimal strategies, their properties and its asymptotic behavior close to the the horizon time as well as numerical examples are presented.
In Chapter 4 we investigate the portfolio optimization problem with an additional risk constraint in a financial market with partial information about the drift. We specify the dynamics of the drift process as a homogeneous continuous-time Markov chain. Combining filtering result with Malliavin calculus we derive the optimal trading strategy in terms of the unnormalized filter and its Malliavin derivative which are described by linear SDEs.

Keywords:
Portfolio-Optimierung, dynamische Strategien, Ausfallrisiko, benchmarking, Martingalmethode, HMM Filtration, Malliavin Ableitung, unvollständiger Information, stetige Markov Kette

optimal portfolio, dynamic strategy, shortfall risk, benchmarking, martingale method, HMM filtering, Malliavin derivative, partial information, continuous-time Markov chain

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Inhaltsverzeichnis
Title page, Contents (i-iv)
1 Introduction (1-13)
I The Portfolio optimization problem: A general overview (14-31)
II Portfolio optimization with deterministic benchmark (32-50)
III Portfolio optimization with stochastic benchmark (51-65)
IV The case of partial information (66-80)
V Appendix (81-92)
Bibliography (93-96)