Maren Hantke

Summen reziproker Eigenwerte

Dissertation zur Erlangung des akademischen Grades doctor rerum naturalium (Dr. rer. nat.) vorgelegt an der Mathematisch-Naturwissenschaftlich-Technischen Fakultät der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg
verteidigt am 29.06.2006

Abstract
Es werden verschiedene klassische Eigenwertprobleme der Ebene behandelt. Hauptschwerpunkte bilden zum einen endliche, zum anderen unendliche Summen reziproker Eigenwerte.
Am Beispiel des Stekloffschen Eigenwertproblems im einfach zusammenhängenden Gebiet wird eine Methode entwickelt, mit deren Hilfe eine scharfe isoperimetrische Ungleichung für die ersten (n-1) nichttrivialen reziproken Eigenwerte des Gebietes D hergeleitet wird. Extremalgebiet ist der Kreis, welcher die Summe minimiert. Das Gleichheitszeichen wird genau für den Kreis angenommen.
Die entwickelte Methode wird auf andere Eigenwertprobleme der Ebene sowie auf zweifach zusammenhängende Gebiete übertragen. Analoge Resultate werden angegeben.
Mit Hilfe der Neumannschen Funktion im Falle des Stekloffproblems bzw. den entsprechenden Fundamentalfunktionen der jeweiligen Eigenwertprobleme wird eine Formel zur Berechnung von hergeleitet. Es werden umfangreiche numerische Rechnungen durchgeführt. Im Falle der festen Membran werden für die Kardioide und verwandte Gebiete exakte Resultate gewonnen. Zahlreiche Monotonieaussagen werden bewiesen.

We investigate several classical eigenvalue problems in the plane. The main subjects are finite sums on the one hand and infinite sums of reciprocal eigenvalues on the other hand.

In the case of the Stekloff eigenvalue problem in the simply connected domain we develop a method. With this method we derive a sharp isoperimetric inequality for the sum of the first (n-1) nontrivial reciprocal eigenvalues of the domain D. The extremal domain is the disk, which ist he minimizer of the sum. Equality occurs only for the disk.
We transfer our method to other eigenvalue problems of the plane and to doubly connected domains. Analogous results are given.
Using the Neumann function or the corresponding fundamental functions of the other problems we derive formulas for calculating . We give a lot of numerical results. In the case of the fixed membrane problem we get exact results for the kardioide and similar domains. Many monotonicity results are proven.

Keywords:
Stekloffsches Eigenwertproblem, Reziproke Eigenwerte, Konforme Abbildungen, Neumannsche Funktion, Kardioide

Stekloff eigenvalue problem, Reciprocal eigenvalues, Conformal mapping, Neumann function, Kardioide

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Inhaltsverzeichnis
Titelblatt, Inhaltsverzeichnis, Tabellenverzeichnis, Abbildungsverzeichnis (2, I-VII)
1 Einleitung (1-3)
2 Das Stekloffsche Eigenwertproblem im einfach zusammenhängenden Gebiet (4-28)
3 Das Stekloffsche Eigenwertproblem im zweifach zusammenhängenden Gebiet (29-42)
4 Das Problem der festen Membran im einfach zusammenhängenden Gebiet (43-72)
5 Das Problem der festen Membran im zweifach zusammenhängenden Gebiet (73-77)
6 Gemischte Stekloffprobleme im zweifach zusammenhängenden Gebiet (78-102)
7 Ein Membranproblem mit gemischten Randbedingungen im zweifach zusammenhängenden Gebiet (103-107)
8 Gemischte Stekloffprobleme im einfach zusammenhängenden Gebiet (108-128)
9 Ein Membranproblem mit gemischten Randbedingungen im einfach zusammenhängenden Gebiet (129-133)
10 Bezeichnungen und Abkürzungen (134)
Literatur (VIII-XI)