Christian Roth

Stochastische partielle Differentialgleichungen 1.Ordnung

Dissertation zur Erlangung des akademischen Grades doctor rerum naturalium (Dr. rer. nat.) vorgelegt an der Mathematisch-Naturwissenschaftlich-Technischen Fakultät der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg
verteidigt am 12.07.2002

Abstract
Die Arbeit beschäftigt sich mit der Entwicklung von Methoden zur Approximation der Lösungen von Anfangs- und Anfangsrandwertaufgaben stochastischer partieller Differentialgleichungen.
Wir verwenden finite Differenzenmethoden um die Lösungen stochastischer partieller Differentialgleichungen vom Itô-Typ, insbesondere hyperbolische Differentialgleichungen, zu approximieren. Die wichtigsten Begriffe der finiten Differenzenmethoden im deterministischen Fall, nämlich die Konsistenz und die Stabilität, werden für den stochastischen Fall entwickelt. Es wird gezeigt, dass die vorgeschlagenen stochastischen Versionen der deterministischen Schemata diese Eigenschaften besitzen. In der deterministischen Theorie liefert der Satz von Lax-Richtmyer die Konvergenz eines Verfahrens genau dann, wenn das Verfahren konsistent und stabil ist. Wir zeigen eine schwache Version dieses Satzes von Lax-Richtmeyer, der uns zumindest die Existenz einer schwach konvergenten Teilfolge sichert, wenn das Verfahren konsistent und stabil ist.
Weiterhin wird die von-Neumann Analysis, die uns ein notwendiges und hinreichendes Stabilitätskriterium mit Hilfe der Fourier-Transformation liefert, auf den stochastischen Fall übertragen. In Spezialfällen folgt dann die Stabilität der stochastischen Verfahren bereits aus der Stabilität der zugrunde gelegten deterministischen Verfahren.
Man kann die Lösungen stochastischer partieller Differentialgleichungen auch dadurch approximieren, dass man den Wiener-Prozess durch eine Folge von Prozessen mit stückweise differenzierbaren Trajektorien ersetzt. Dabei hat man den Vorteil, dass man auf die approximierenden Probleme realisierungsweise die Methoden der deterministischen Numerik anwenden kann. Die Konvergenz der Approximierenden gegen die Lösung erfolgt gleichmässig in Wahrscheinlichkeit.

The thesis deals with the development of methods to approximate the solutions of initial and initial-boundary value problems for stochastic partial differential equations. We make use of finite difference methods in order to approximate the solutions of stochastic partial differential equations of Itô-type, in particular hyperbolic equations. The main properties of deterministic difference methods, i.e. consistency and stability, are developed for the stochastic case. It is shown that the proposed stochastic difference schemes have these properties. In the deterministic theory the theorem of Lax-Richtmyer (also known as Lax-equivalence theorem) allows us to prove convergence of difference schemes by showing that the schemes are both consistent and stable.
In this thesis we prove a weak stochastic version of the Lax-Richtmeyer theorem giving the existence of a weak convergent subsequence if the scheme is consistent and stable.
Further the von-Neumann calculus, giving a short proof for stability using the Fourier-Transformation, is extended to the stochastic case. In some cases we have stability, already if the deterministic scheme is stable.
We can approximate the solutions of stochastic partial diffferential equations by approximating the Wiener process by a sequence of piecewise differentiable processes. The advantage is that we can use the methods of deterministic numerics on each path. We get congervence of the approximation to the solution in probability.

Keywords:
Stochastische partielle Differentialgleichungen vom Itô-Typ; Differenzenmethoden; Konsistenz und Stabilität; approximation by processes having absolutely continuous paths, systems of equations

Stochastic partial differential equations of Îto-type; difference methods; consistency and stability; approximation by processes having absolutely continuous paths, systems of equations

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis (ii-iii)
1. Einleitung (1-4)
2. Hyperbolische stochastische partielle Differentialgleichungen (5-19)
3. Finite Differenzenmethoden im stochastischen Fall (20-52)
4. Stochastische Anfangs- und Randwertprobleme (53-86)
5. Anhang (87-90)
Literaturverzeichnis (91-95)